By N. Bourbaki

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Lorsque, pour tout i, le sous-groupe Hi est réduit à l'élément neutre de Gi, la somme restreinte des Gi par rapport aux Hi s'appelle simplement somme restreinte des Gi et se note parfois Gi. = x et xi = ei si i io, est un homomorphisme injectif de groupes à opérateurs appelé injection canonique. On identifie Gi au sous-groupe stable Im(ti). Les sous-groupes Gi sont distingués. Pour i j, les éléments de Gi et G. commutent et Gi G. {e}. Le groupe I I Gi est engendré par l'ensemble U Gi. ieI ieI K)i EI une famille d'homomorphismes de groupes à j, x E Gi, y E Gi, les éléments opérateurs telle que, quels que soient i E I et j E I avec i yi (x) et (My) de K commutent; il existe un homomorphisme de groupes à opérateurs (I) de I I Gi dans K et un seul tel que l'on ait Pi =(I) pour tout i E I.

Pour i j, les éléments de Gi et G. commutent et Gi G. {e}. Le groupe I I Gi est engendré par l'ensemble U Gi. ieI ieI K)i EI une famille d'homomorphismes de groupes à j, x E Gi, y E Gi, les éléments opérateurs telle que, quels que soient i E I et j E I avec i yi (x) et (My) de K commutent; il existe un homomorphisme de groupes à opérateurs (I) de I I Gi dans K et un seul tel que l'on ait Pi =(I) pour tout i E I. Pour tout élément PROPOSITION 12. — Soit (yi : ieI x = (xi) i el de I I Gi, on a J(x) = eI FI ieI Gi, Si (I) et W répondent à la question, ils coïncident dansieI U Gi, donc dans ieI d'où l'unicité de J.

G. sont appelées les homo- Un cas particulier de produit de groupes à opérateurs est le groupe GE formé par les applications d'un ensemble E dans un groupe à opérateurs G, les lois étant définies par: ( fg) (x) = f (x) g(x) f (x) = f (x)c' ( f, g dans GE, x E E) ( f E GE , oc E S2, x E E). Soit ((pi : H Gi)i el une famille d'homomorphismes de groupes à opérateurs. L'application h ((pi (h))i ei de H dans 1 1 Gi est un homomorphisme de groupes eI à opérateurs. C'est le seul homomorphisme (1): H —> FI G.

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